Le binaire

Auteur : Franck CHAMBON, Lycée Lucie Aubrac

Merci à Florent P. pour ses prises de notes de cours, reprises ici.

I - Vocabulaire

Le bit

L'informatique fonctionne avec deux états fondamentaux :

fermé ou 0, pas de signal
ouvert ou 1, du signal
On parle de binaire, pour deux états.

Nb états	Nom
2	Binaire
3	Ternaire
8	Octal
10	Décimal
16	Hexadécimal

L'unité élémentaire de stockage est le bit. (Binary digit)

Un disque dur, un CD-ROM, la mémoire vive, sont constitués de cases remplies soit de 0, soit de 1.

Propriété : avec un paquet de $n$ cases binaires, on peut coder $2^n$ symboles différents.

Exemple 1 : avec 3 cases binaires, on peut coder $2^3 = 8$ symboles différents

000 pour 0
001 pour 1
010 pour 2
011 pour 3
100 pour 4
101 pour 5
110 pour 6
111 pour 7

Exemple 2 : avec 8 cases binaires on peut coder $2^8 = 256$ symboles différents.

Pour un lot de 8 bits, on parle d'octet (byte).

Remarques

bit est abrégé en $\text{b}$ , comme dans un débit Internet à $24~\text{Mbps}$ , 24 méga-bits par seconde.
byte (prononcé 'baïte') est abrégé en $\text{B}$ , le débit précédent correspond à $3~\text{MBps}$ , 3 mega-byte per second.
octet est abrégé en $\text{o}$ , comme dans $3~\text{Mo}/\text{s}$ , 3 méga-octet par seconde.

L'octet

En pratique les données informatiques transitent très souvent par paquets de 8 bits, donc par octets. La première raison à cela a été l'utilisation de l'ASCII pour transporter l'information du texte écrit.

l'ASCII

Le codage ASCII utilise un octet :

le premier bit est à 0 ;
et les 7 autres sont variables, donc $2^7 = 128$ symboles différents.

Il est utilisé pour coder :

les lettres minuscules et majuscules ;
la ponctuation ;
les chiffres ;
les caractères techniques spéciaux d'imprimerie.

Les articles sont écrits là en italiques, car c'est impossible en réalité de les mettre tous.

Il existe trop de langues et donc énormément de lettres, un choix a été fait, les lettres anglaises et quelques autres.
Idem pour la ponctuation, un choix a été fait...

Pour un texte en anglais, avec une ponctuation classique, l'ASCII est parfaitement adapté.

Pour chaque pays, à une époque, on utilisait une variante de l'ASCII étendu (un pour chaque pays/langue), avec 128 symboles supplémentaires (ceux avec le bit de poids fort égal à 1). Le problème était pour la communication entre utilisateurs de différents pays ; c'était parfois compliqué... En France on utilisait l'encodage latin-1 nommé aussi ISO 8859-1.

Aujourd'hui on utilise souvent un codage UTF-8 avec un nombre variable d'octets pour pouvoir échanger du texte dans n’importe quelle langue, avec smiley...

Si le bit de poids fort est à 0, alors le caractère est codé en ASCII ; le cas le plus fréquent.
Sinon, c'est rare, il est codé sur plusieurs octets, et on peut utiliser au choix, tous les caractères que l'humanité est capable d'inventer : lettre de toute langue, hiéroglyphe, smiley, symbole technique, ...

Conclusion, le poids d'un fichier texte est donné par la règle :

Pour un texte très simple, un caractère pèse un octet. Exemple, un livre simple en anglais d'un million de caractères pèse un méga-octet ( $1~\text{Mo}$ ).
Pour un texte plus technique, seuls les caractères hors ASCII sont codés sur plusieurs octets, et le poids en octets est supérieur au nombre de caractères. Souvent juste un peu plus.

Niveaux de gris

Une autre utilisation de l'octet est de proposer 256 symboles différents, comme 256 nombres différents. Un octet peut représenter un niveau de gris parmi 256.

Une image simple (en 256 niveaux de gris) est une liste de lignes, où chaque ligne est une liste de pixels codés sur un octet. Dans ce cas une image de 600 pixels de large, par 400 pixels de haut pèse $600×400×1 = 240~\text{ko}$ (hors compression).

Pour coder d'autres nombres, pour des images plus précises, ou pour d'autres usages, on pourra utiliser plus que 8 bits.

II - Codage des entiers

Les entiers non signés sur 4 bits

On a $2^4 = 16$ nombres de $0$ à $15$ .

$n$	binaire	hexadécimal
0	`0000`	`0`
1	`0001`	`1`
2	`0010`	`2`
3	`0011`	`3`
4	`0100`	`4`
5	`0101`	`5`
6	`0110`	`6`
7	`0111`	`7`
8	`1000`	`8`
9	`1001`	`9`
10	`1010`	`A`
11	`1011`	`B`
12	`1100`	`C`
13	`1101`	`D`
14	`1110`	`E`
15	`1111`	`F`

Ce tableau est à connaître et à savoir refaire !

Les entiers non signés sur 1 octet (8bits)

Il y a $2^8 = 256$ nombres de $0$ à $255$ .

Par exemple :

$0 = (0000\,0000)_2$
$255 = (1111\,1111)_2$
$15 = (0000\,1111)_2$

On apprendra à faire les conversions binaire vers décimal.

Les entiers non signés sur 32 bits (4 octets).

Il y a $2^{32} = 4\,294\,967\,296$ nombres de $0$ jusqu'à $4\,294\,967\,295$ .

On retiendra que sur 4 octets, on peut différencier plus de 4 milliards de nombres.

III - Opérations en binaire

Conversion décimal vers binaire

Première technique :

On divise le nombre par deux jusqu'à obtenir un quotient égal à zéro.
On lit les restes dans l'ordre inverse.

Exemple : avec $53$

53/2 = 26 reste 1,
26/2 = 13 reste 0,
13/2 = 6 reste 1,
6/2 = 3, reste 0,
3/2 = 1, reste 1,
1/2 = 0, reste 1.

Le résultat est $53 = (11\,0101)_2$ .

On préférera compléter à gauche avec deux zéros pour faire des paquets de quatre bits. $53 = (0011\,0101)_2$

Deuxième technique

On cherche à écrire le nombre comme une somme de puissance de deux, (la plus grande possible).
Les puissances obtenues donnent des 1 à l'écriture binaire, les puissances absentes donnent des 0 à l'écriture.

Exemple : avec $53$

$53 = 32 + 21$
$53 = 32 + 16 + 5$
$53 = 32 + 16 + 4 + 1$
Il n'y a pas de $8$ , ni de $2$
$53 = 1×32 + 1×16 + 0×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1$
$53 = (11\,0101)_2$

Exercice

Vérifier que $203 = (1100\,1011)_2$
Vérifier que $204 = (1100\,1100)_2$
Comment peut-on déduire l'écriture de $205$ , de $206$ ?

Ajouter un à une écriture binaire

On va faire une boucle sur les chiffres lus, soit on a 1, soit 0, soit on sort dans le vide...

On part du chiffre le plus à droite.
Tant qu'il est égal à 1,
- on le change en 0,
- on se décale à gauche.
Si on arrive dans le vide,
- alors on écrit 1.
- sinon on change le 0 en 1.

Conversion binaire vers décimal

Chaque chiffre binaire correspond à une puissance de deux.

1 : la puissance est présente, elle compte $1$ fois.
0 : la puissance est absente, elle compte $0$ fois.

On lit les chiffres de la droite vers la gauche, cela donne les puissances de $2$ : $2^0 = 1$ , puis $2^1 = 2$ , puis $2^2 = 4$ , etc.

Exemple : $(1100\,1011)_2 = 1×1 + 1×2 + 0×4 + 1×8 + 0×16 + 0×32 + 1×64 + 1×128 = 203$

Addition d’entiers non signés

On rappelle que $2 = (10)_2$ , $3 = (11)_2$ .
Il suffit de poser l’addition comme en primaire, avec les retenues.

Exemple avec $5+7 = 12$

$5 = (101)_2$
$7 = (111)_2$
$12 = (1100)_2$

retenues :  1 1 1
-----------
              1 0 1
            + 1 1 1
            -------
            1 1 0 0

Exercice

Vérifier en binaire que $179+75=254$ .
Vérifier en binaire que $13+13+13+13 = 13×4 = 52$ .

Et si on essayait de poser aussi les multiplications en binaire ?

Multiplication d’entiers non signés

On pose la multiplication comme en primaire.

Exemple avec $13×11=143$

$13 = (1101)_2$
$11 = (1011)_2$
$143 = (1000\,1111)_2$

retenues : 1 1 1 1 0 0 0
-----------
                   1 1 0 1
                 × 1 0 1 1
                 ---------
                   1 1 0 1
                 1 1 0 1 .
                     0 . .
             1 1 0 1 . . .
             =============
           1 0 0 0 1 1 1 1

IV - Conteneurs standards pour les entiers

Sur 8 bits (1 octet)

On a $2^8=256$ possibilités.

Entiers non signés : de $0$ à $255$ .
Entiers signés : de $-128$ à $+127$ .

Pour les entiers signés on partage l'intervalle en deux, zéro étant à la fois positif et négatif, il reste une place, on choisit d'avoir un négatif de plus.

Sur 32 bits (4 octets)

On a $2^{32} \simeq 4$ milliards de possibilités.

Entiers non signés : de $0$ à $2^{32} -1$ .
Entiers signés : de $-2^{31}$ à $+2^{31}-1$ .

Codage des entiers signés

La mauvaise méthode : un bit de signe

On garde le bit de poids fort pour indiquer le signe.
Les autres bits indiquent la valeur numérique.

Il y a deux problèmes :

Il y aurait deux représentations pour l'entier $0$ : $+0$ et $-0$ .
Les méthodes pour faire les opérations arithmétiques seraient complexes à programmer.

La bonne méthode : le complément à deux

La bonne nouvelle

Cette méthode résout les deux problèmes précédents :

Il n'y a qu'une représentation pour $0$ .
Les circuits intégrés pour faire les opérations entre nombres signés et non signés sont exactement les mêmes.

Aperçu de la méthode

On voudrait $(+1) + (-1) = 0$

Sur un conteneur 8-bit, on prépare l'addition à trou, et on déduit que $(-1)$ se code avec 1111 1111.

    0 0 0 0   0 0 0 1
  + 1 1 1 1   1 1 1 1
   ------------------
  1 0 0 0 0   0 0 0 0

On remarque qu'il reste un bit de poids fort, mais il n'est plus dans le conteneur 8-bit ; il est perdu, et on obtient bien 0 !

On voudrait aussi $(+6) + (-6) = 0$

    0 0 0 0   0 1 1 0
  + 1 1 1 1   1 0 1 0
   ------------------
  1 0 0 0 0   0 0 0 0

Comment obtenir plus rapidement l'opposé d'un entier ?

Obtenir le complément à deux

On part de l'écriture binaire de la partie numérique.
On inverse tous les bits $0↔1$ .
On ajoute $1$ .

Exemple avec $6=(0000\,0110)_2$

L'inversion donne 1111 1001
L'ajout de $1$ donne 1111 1010

Exercices

Quel est le complément à 2 sur 8 bits de $-105$ ?

$105 = (0110\,1001)_2$

L'inversion donne 1001 0110.

L'ajout de $1$ donne 1001 0111.

La réponse est 1001 0111.

Quel est l'entier représenté en complément à deux sur 8 bits par 1100 1001 ?

Le bit de poids fort est à 1, donc ce nombre est négatif ; on applique la méthode.

L'inversion donne 0011 0110.

L'ajout de $1$ donne 0011 0111

Ce nombre correspond à une partie numérique $1+2+4+16+32 = 55$ .

Le nombre de départ était $-55$ .

Quel est l'entier représenté en complément à deux sur 8 bits par 0000 1101 ?

Le bit de poids fort est à 0, donc ce nombre est positif ; il suffit de lire sa partie numérique.

La partie numérique est $1+4+8 = 13$

Le nombre de départ était $+13$ .

Nous reviendrons sur ce chapitre pour travailler sur les conversions de bases entre binaire, octal et hexadécimal.