Une théorie mathématique ne doit être regardée comme parfaite que si elle a été rendue tellement claire qu’on peut la faire comprendre au premier individu rencontré dans la rue.
David Hilbert en 1900

Feuille d'exercices 2

Rappel : La notation $|x|$ signifie valeur absolue de $x$ , c'est le maximum entre $x$ et $-x$ . On a $|x| = x$ si $x\geqslant 0$ . On a $|x| = -x$ si $x\leqslant 0$ .
Exemples : $|+7| = +7$ , et $|-11|=+11$ .

Exercice 1

Démontrer les premières propriétés vues en cours ; à savoir :

Soient $a,b,c$ trois entiers relatifs.

$1\mid a$ ; ( $1$ est toujours un diviseur, de tout entier. )
Si $a\mid 1$ , alors $a=\pm 1$ ; ( $\pm1$ sont les seuls inversibles de $\mathbb{Z}$ . )
Si $a\mid b$ , alors $\pm a\mid \pm b$ ; ( Le signe n'a pas d'importance. )
$a\mid 0$ ; ( Zéro est multiple de tout entier ; tous les entiers divisent zéro. )
Si $0\mid a$ , alors $a=0$ ; ( Autrement dit : zéro ne divise que zéro. )
$a\mid a$ ; (réflexivité)
Si $a\mid b$ et $b\mid c$ , alors $a\mid c$ ; (transitivité)
Si $a\mid b$ et $a\mid c$ , alors $a\mid b+c$ ;
Si $a\mid b$ , alors $a\mid bc$ et $ac\mid bc$ ;
Si $ac\mid bc$ avec $c\neq 0$ , alors $a\mid b$ ;
Si $a\mid b$ avec $b\neq 0$ , alors $0<|a| \leqslant |b|$ ;
Si $a\mid b$ et $b\mid a$ , alors $a=\pm b$ .

Corrigé

$\forall a \in \mathbb Z, a = a×1$ , ainsi $1\mid a$ .
Les solutions de l'équation sur $\mathbb Z$ : $a×b = 1$ sont $(a=1, b=1)$ et $(a=-1, b=-1)$ , en effet ni $a$ ni $b$ ne peuvent être nuls, et ni de valeur absolue supérieure à $1$ . $a$ et $b$ étant de même signe, on a :

Si $a>1$ , alors $b\geqslant 1$ , et $a×b>1$ ; impossible.
Si $a<-1$ , alors $b\leqslant -1$ , et $a×b>1$ ; impossible.
$a$ et $b$ jouent des rôles symétriques, donc on a de même $b>1$ et $b<-1$ impossibles.
Et $a$ ou $b$ nul, implique $a×b = 0$ ; impossible.
Il ne reste que les cas $a=b=1$ , et $a=b=-1$ .

Si $a\mid b$ , alors $b = a×k$ pour $k\in \mathbb Z$ , on déduit $-b=-a×k$ , mais aussi $-b=a×(-k)$ , et encore $b=(-a)×k$ , le tout avec $(-a)$ et $(-k)$ dans $\mathbb Z$ (important à souligner), ainsi $\pm a \mid \pm b$ .
$\forall a\in\mathbb Z, 0=0×a$ , ainsi $a\mid 0$ .

Remarque : $0\mid 0$ , certes, mais $0$ divisé par $0$ n'est pas défini. C'est différent.

Si $0\mid a$ , alors $a=0×k$ , avec $k\in\mathbb Z$ , donc $a=0$ .
$a=a×1$ , donc $a\mid a$ .
Si $a\mid b$ et $b\mid c$ , alors $c=b×k$ avec $k\in\mathbb Z$ , et $b=a×l$ avec $l\in\mathbb Z$ , d'où $c = (a×l)×k = a×(l×k)$ avec $(l×k)\in\mathbb Z$ , ainsi $a\mid c$ . On a utilisé l'associativité de la multiplication.
Si $a\mid b$ et $a\mid c$ , alors $b=a×k$ avec $k\in\mathbb Z$ , et $c=a×l$ avec $l\in\mathbb Z$ , ainsi $b+c = a×k+a×l=a×(k+l)$ , avec $(k+l)\in\mathbb Z$ , ainsi $a\mid b+c$ .
Si $a\mid b$ , alors $b=a×k$ avec $k\in\mathbb Z$ , donc $bc=a×(k×c)$ avec $(k×c)\in\mathbb Z$ , et $bc = a×k×c = (ac)×k$ avec $(ac)\in\mathbb Z$ , ainsi $a\mid bc$ et $ac\mid bc$ . On a utilisé ici la commutativité de la multiplication !.
Si $ac\mid bc$ avec $c\neq 0$ , alors $bc=ac×k$ avec $k\in\mathbb Z$ , d'où $b=a×k$ , ainsi $a\mid b$ .
Si $a\mid b$ avec $b\neq 0$ , alors $|a|\mid |b|$ et $|b| = |a| × k$ avec $k\in\mathbb Z$ . Avec $b\neq 0$ , on déduit $k\neq 0$ et $a\neq 0$ , et enfin $0<|a| \leqslant |b|$ ;
Si $a\mid b$ et $b\mid a$ , alors

si $a=0$ , alors $b=0$ d'après 5.
si $b=0$ , alors $a=0$ d'après 5.
sinon, $0<|a| \leqslant |b|$ et $0<|b| \leqslant |a|$ d'après 11. d'où $|a|=|b|$ , ainsi $a=\pm b$ .

Exercice 2

Démontrer que $7 \mid 35\,042$ , sans calculatrice.

$35 = 5×7$ , donc $7 \mid 35$ , et donc $7 \mid 35×1000$ . (prop. 9)
D'autre part $42 = 6×7$ , donc $7 \mid 42$ .
Ainsi $7 \mid 35\,000 +42$ . (prop. 8)

Exercice 3

Avec l'algorithme d'Euclide, calculer $\text{PGCD}(16191, 9252)$ .

$(16191÷9252) \rightarrow (q=1, r=6939)$
$(9252÷6939) \rightarrow (q=1, r=2313)$
$(6939÷2313) \rightarrow (q=3, r=0)$
Le dernier diviseur est $2313$ , c'est le $\text{PGCD}(16191, 9252)$ .

Exercice 4

Calculer $A = \dfrac{21}{1535} + \dfrac{17}{2763}$

Donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible. Justifier cela de manière efficace !

Calculons $\text{PGCD}(1535, 2763)$ avec l'algorithme d'Euclide.

$(1535÷2763) \rightarrow (q=0, r=1535)$
$(2763÷1535) \rightarrow (q=1, r=1228)$
$(1535÷1228) \rightarrow (q=1, r=307)$
$(1228÷307) \rightarrow (q=4, r=0)$
Le dernier diviseur est $307$ , c'est le $\text{PGCD}(1535, 2763)$ .

On peut alors écrire : $1535 = 307×5$ et $2763=307×9$ , de sorte que :

$A = \dfrac{21}{307×5} + \dfrac{17}{307×9}$ , on veut obtenir le même dénominateur.
$A = \dfrac{21×9}{307×5×9} + \dfrac{17×5}{307×9×5}$ , inutile de calculer le dénominateur.
$A = \dfrac{21×9+17×5}{307×5×9}$ , mais on doit calculer le numérateur.
$A = \dfrac{274}{307×5×9}$ , pour simplifier, on peut penser à la décomposition en facteurs premiers.
$A = \dfrac{2×137}{307×5×3^2}$ , on ne peut donc pas simplifier cette fraction.
$A = \dfrac{274}{13815}$ est irréductible.

On peut aussi vérifier que $\text{PGCD}(274, 13815) = 1$ . C'est une excellente méthode, pour simplifier, ou justifier qu'une fraction est irréductible.

Exercice 5

Calculer $B = \dfrac{15730}{25137} × \dfrac{45619}{112200}$

Donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

On a les décompositions en facteurs premiers :

$15730 = 2× 5× 11× 11× 13$
$25137 = 3^3× 7^2× 19$
$45619 = 7^4× 19$
$112200 = 2^3× 3× 5^2× 11× 17$

On en déduit :

$B = \dfrac{2× 5× 11× 11× 13}{3^3× 7^2× 19} × \dfrac{7^4× 19}{2^3× 3× 5^2× 11× 17}$
$B = \dfrac{2× 5× 11× 11× 13× 7^4× 19}{3^3× 7^2× 19× 2^3× 3× 5^2× 11× 17}$ , simplifions par $2$ , $5$ , $11$ , $7^2$ et $19$ .
$B = \dfrac{11× 13× 7^2}{3^3× 2^2× 3× 5× 17}$ , enfin rangeons.
$B = \dfrac{7^2×11×13}{2^2× 3^4× 5× 17}$ , le résultat demandé.

Exercice 5

Calculer $C = \dfrac{1}{91} + \dfrac{2}{91} × \dfrac{5}{3}$

Donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

⚠️ L'opération prioritaire n'est pas l'addition, mais la multiplication.

$C = \dfrac{1}{91} + \dfrac{2×5}{91×3}$
$C = \dfrac{1×3}{91×3} + \dfrac{2×5}{91×3}$
$C = \dfrac{1×3+2×5}{91×3}$ , on n'évalue pas le dénominateur !
$C = \dfrac{13}{91×3}$ , on cherche à simplifier.

Si une fraction possède un petit numérateur, ou un petit dénominateur, on décompose ce petit nombre en facteurs premiers, et seules les simplifications possibles sont issues de ces facteurs. Ici, $13$ seul candidat, or $91=7×13$ , donc on peut simplifier.

$C = \dfrac{1}{7×3}$ , le résultat attendu.

Exercice 6

Pour les élèves aussi en NSI.

On rappelle que :

$\text{PGCD}(a, 0) = |a|$ pour tout $a\in \mathbb Z$
Pour $b\neq 0$ , $\text{PGCD}(a, b) = \text{PGCD}(b, r)$ , où $r$ est le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$ .

En déduire une fonction Python récursive de calcul de $\text{PGCD}$ .

def pgcd(a: int, b: int) -> int:
    """Renvoie PGCD(a, b) pour a et b relatifs.
    >>> pgcd(15, 49)
    1
    >>> pgcd(-12, 18)
    6
    """
    if b == 0:
        return abs(a)
    else:
        return pgcd(b, a%b)
    
    # variante en une ligne
    return abs(a) if b == 0 else pgcd(b, a%b)